Question

已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁+a₃=-2，a₄+a₇=12．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若不等式S_n+a≥2n對任意的正整數n恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，由題意可得首項和公差的方程組，聯(lián)立可解得a₁和d，可得通項公式；
（2）由（1）可得S_n的不等式，代入條件變形可得變形可得a≥-n²+6n對任意的正整數n恒成立，只需由二次函數的知識求得-n²+6n的最大值可得結論．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，
則a₁+a₃=2a₁+2d=-2，a₄+a₇=2a₁+9d=12．
聯(lián)立可解得a₁=-3，d=2，
故a_n=-3+2（n-1）=2n-5
（2）由（1）可得a_n=2n-5，
故S_n=

n(-3+2n-5)

2

=n²-4n，
∵不等式S_n+a≥2n對任意的正整數n恒成立，
∴n²-4n+a≥2n對任意的正整數n恒成立，
變形可得a≥-n²+6n對任意的正整數n恒成立，
由二次函數的知識可知當n=3時，-n²+6n取最大值9，
故實數a的取值范圍為：a≥9

點評：本題考查等差數列的求和公式和通項公式，涉及二次函數的性質和恒成立問題，屬中檔題．