Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}-ax-^{2}}{x+a}$（x∈[0，+∞）），其中a＞0，b∈R，記M（a，b）為f（x）的最小值．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求a的取值范圍，使得存在b，滿足M（a，b）=-1．

Answer 1

分析 （1）令x+a=t（t≥a），即有y=$\frac{（t-a）^{2}-a（t-a）-^{2}}{t}$=t+$\frac{2{a}^{2}-^{2}}{t}$-3a，討論當(dāng)2a²-b²≤0，當(dāng)2a²-b²＞0，討論a²≥b²，以及a²＜b²，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性即可得到；
（2）由（1）的結(jié)論，求得最小值，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：（1）令x+a=t（t≥a），即有y=$\frac{（t-a）^{2}-a（t-a）-^{2}}{t}$=t+$\frac{2{a}^{2}-^{2}}{t}$-3a，
當(dāng)2a²-b²≤0，函數(shù)y在[a，+∞）遞增；當(dāng)2a²-b²＞0，由y′=1-$\frac{2{a}^{2}-^{2}}{{t}^{2}}$=0，解得t=$\sqrt{2{a}^{2}-^{2}}$．
當(dāng)a≤$\sqrt{2{a}^{2}-^{2}}$，即a²≥b²，函數(shù)在[$\sqrt{2{a}^{2}-^{2}}$，+∞）遞增；
當(dāng)a＞$\sqrt{2{a}^{2}-^{2}}$，即a²＜b²，函數(shù)在[a，+∞）遞增．
綜上可得，當(dāng)2a²≤b²，f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a²≥b²，f（x）的遞增區(qū)間為[$\sqrt{2{a}^{2}-^{2}}$-a，+∞）；
當(dāng)a²＜b²，函數(shù)的遞增區(qū)間為（0，+∞）；
（2）由（1）可得當(dāng)2a²-b²≤0，函數(shù)y在[0，+∞）遞增，
可得M（a，b）=-$\frac{^{2}}{a}$=-1，即a=b²，
由2a²-b²≤0，可得0＜a≤$\frac{1}{2}$；
當(dāng)a≤$\sqrt{2{a}^{2}-^{2}}$，即a²≥b²，函數(shù)在[0，$\sqrt{2{a}^{2}-^{2}}$-a）遞減，
[$\sqrt{2{a}^{2}-^{2}}$-a，+∞）遞增，可得最小值為2$\sqrt{2{a}^{2}-^{2}}$-3a=-1，
可得4b²=-a²+6a-1＞0，代入a²≥b²，解得1≤a＜3+2$\sqrt{2}$；
當(dāng)a²＜b²＜2a²，函數(shù)的遞增區(qū)間為[0，+∞），即有最小值為-$\frac{^{2}}{a}$=-1，即a=b²，
解得0.5＜a＜1．
綜上可得a的范圍是0.5＜a＜1或1≤a＜3+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和分類討論的思想方法，考查函數(shù)的最值的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．