Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$，x∈[1，+∞）．
（1）當a=$\frac{1}{4}$時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若關于x的方程f（x）=a在[2，3]上有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的解析式和導數(shù)，判斷單調性，即可得到最小值；
（2）由題意可得x²+2x+a＞0，即-a＜x²+2x的最小值，運用二次函數(shù)的最值求法，即可得到最小值，進而得到a的范圍；
（3）由題意可得a=$\frac{{x}^{2}+2x}{x-1}$=（x-1）+$\frac{3}{x-1}$+4，求得右邊函數(shù)的單調性，可得最值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）當a=$\frac{1}{4}$時，f（x）=x+$\frac{1}{4x}$+2，x∈[1，+∞）時，f′（x）=1-$\frac{1}{4{x}^{2}}$＞0，
即有f（x）在[1，+∞）遞增，則x=1時，取得最小值，且為$\frac{13}{4}$；
（2）對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，即為：
x²+2x+a＞0，即-a＜x²+2x的最小值，由y=x²+2x在[1，+∞）遞增，
可得最小值為3，則-a＜3，解得a＞-3；
（3）關于x的方程f（x）=a在[2，3]上有解，
即為a=$\frac{{x}^{2}+2x}{x-1}$=（x-1）+$\frac{3}{x-1}$+4，
由2≤x≤3，可得1≤x-1≤2，
可令t=x-1，t+$\frac{3}{t}$在（1，$\sqrt{3}$）遞減，（$\sqrt{3}$，2）遞增，
即有t=$\sqrt{3}$時，取得最小值2$\sqrt{3}$；t=1時，取得最大值4．
則4+2$\sqrt{3}$≤a≤8．
即有實數(shù)a的取值范圍是[4+2$\sqrt{3}$，8]．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用基本不等式和函數(shù)的單調性，同時考查不等式恒成立和方程有解的條件，考查運算能力，屬于中檔題．