Question

已知函數(shù)f（log_ax）=

a

a2-1

(x-x-1)，其中a＞0且a≠1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并判斷其奇偶性和單調(diào)性；
（2）對(duì)于函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f（x）-6的值恒為負(fù)數(shù)，求函數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）由f（log_ax）=

a

a2-1

(x-x-1)，得f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，…2’
因?yàn)槎�義域?yàn)镽，
f(-x)=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f（x）
所以f（x）為奇函數(shù)，…4’
因?yàn)?span mathtag="math" >f′(x)=

a•lna

a2-1

(ax+a-x)，
當(dāng)0＜a＜1及a＞1時(shí)，f′（x）＞0，
所以f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)；…6’
（2）由f（1-m）+f（1-m²）＜0，得f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），，
又x∈（-1，1），則-1＜1-m＜1-m²＜1，得1＜m＜

2

；…10’
（3）因?yàn)閒（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)，所以當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）-6的值恒為負(fù)數(shù)，
所以f（x）-6＜0恒成立，
則f（2）-6=

a

a2-1

(a2-a-2)-6≤0，…12’
整理得a²-6a+1≤0，所以3-2

2

≤a≤3+2

2

，
又a＞0且a≠1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3-2

2

，1）∪（1，≤3+2

2

]．…14’