Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax²+x-b（a，b均為正數(shù)），不等式f（x）＞0的解集記為P，集合Q={x|-2-t＜x＜-2+t}，若對于任意正數(shù)t，P∩Q≠∅，則$\frac{1}{a}$-$\frac{1}$的最大值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)不等式解集對應的關系，得到-2∈P，然后利用基本不等式進行求解即可．

解答 解：∵不等式f（x）＞0的解集記為P，集合Q={x|-2-t＜x＜-2+t}，對于任意正數(shù)t，P∩Q≠∅，
∴-2∈P，即f（-2）≥0，
則4a-2-b≥0，即1≤2a-$\frac{2}$；
又由題意知，$\frac{1}{a}$-$\frac{1}$的最大值必是正數(shù)，
則$\frac{1}{a}$-$\frac{1}$=（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$）×1≤（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}$）×（2a-$\frac{2}$）=2-$\frac{2a}$-$\frac{2a}$+$\frac{1}{2}$≤$\frac{5}{2}$-2$\sqrt{\frac{2a}•\frac{2a}}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{a}$-$\frac{1}$的最大值是$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查基本不等式的應用，根據(jù)集合關系進行等價轉化是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．