Question

10．某校課改實行選修走班制，現有甲，乙，丙，丁四位學生準備選修物理，化學，生物三個科目．每位學生只選修一個科目，且選修其中任何一個科目是等可能的．
（1）恰有2人選修物理的概率；
（2）選修科目個數ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）先求出基本事件總數，再求出恰有2人選修物理包含的基本事件個數，由此能求出恰有2人選修物理的概率．
（2）由題意得ξ的所有可能取值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）甲，乙，丙，丁四位學生準備選修物理，化學，生物三個科目．每位學生只選修一個科目，且選修其中任何一個科目是等可能的，
∴基本事件總數n=3⁴，
恰有2人選修物理包含的基本事件個數m=${C}_{4}^{2}•{2}^{2}$，
∴恰有2人選修物理的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{{C}_{4}^{2}•{2}^{2}}{{3}^{4}}$=$\frac{8}{27}$．
（2）由題意得ξ的所有可能取值為1，2，3，
P（ξ=1）=$\frac{3}{{3}^{4}}$=$\frac{1}{27}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}（{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{3}+{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}）}{{3}^{4}}$=$\frac{14}{27}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{3}^{4}}$=$\frac{4}{9}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{14}{27}$	$\frac{4}{9}$

Eξ=$1×\frac{1}{27}+2×\frac{14}{27}+3×\frac{4}{9}$=$\frac{65}{27}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．