Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點．
（Ⅰ）證明：直線MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大��；
（Ⅲ）求點B到平面OCD的距離．

Answer 1

分析：方法一：（1）取OB中點E，連接ME，NE，證明平面MNE∥平面OCD，方法是兩個平面內(nèi)相交直線互相平行得到，從而的到MN∥平面OCD；
（2）∵CD∥AB，∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補角）作AP⊥CD于P，連接MP
∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP菱形的對角相等得到∠ABC=∠ADC=

π

4

，
利用菱形邊長等于1得到DP=

2

2

，而MD利用勾股定理求得等于

2

，在直角三角形中，利用三角函數(shù)定義求出即可．

（3）AB∥平面OCD，∴點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP，過點A作AQ⊥OP于點Q，
∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD，
又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離，求出距離可得．

方法二：（1）分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，分別表示出A，B，O，M，N的坐標(biāo)，
求出

MN

，

OP

，

OD

的坐標(biāo)表示．設(shè)平面OCD的法向量為

n

=（x，y，z），則n•

OP

=0，n•

OD

=0，
解得

MN

•n=(1-

2

4

，

2

4

，-1)•(0，4，

2

)=0，∴MN∥平面OCD
（2）設(shè)AB與MD所成的角為θ，表示出

AB

和

MD

，利用a•b=|a||b|cosα求出叫即可．
（3）設(shè)點B到平面OCD的距離為d，則d為

OB

在向量n=(0，4，

2

)上的投影的絕對值，由

OB

=(1，0，-2)，
得d=

| OB •n|

|n|

=

2

3

．所以點B到平面OCD的距離為

2

3

．

解答：解：方法一（綜合法）
（1）取OB中點E，連接ME，NE
∵M(jìn)E∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD
又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD

（2）∵CD∥AB，∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補角）
作AP⊥CD于P，連接MP
∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP
∵∠ADP=

π

4

，∴DP=

2

2

，MD=

MA2+AD2

=

2

，
∴cos∠MDP=

DP

MD

=

1

2

，∠MDC=∠MDP=

π

3

所以AB與MD所成角的大小為

π

3

．

（3）∵AB∥平面OCD，
∴點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP，過點A作AQ⊥OP于點Q，
∵AP⊥CD，OA⊥CD，
∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．
又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離，
∵OP=

OD2-DP2

=

OA2+AD2-DP2

=

4+1- 1 2

=

3 2

2

，AP=DP=

2

2

，
∴AQ=

OA•AP

OP

=

2• 2 2

3 2 2

=

2

3

，所以點B到平面OCD的距離為

2

3

．

方法二（向量法）
作AP⊥CD于點P，如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標(biāo)系：
A（0，0，0），B（1，0，0），P(0，

2

2

，0)，D(-

2

2

，

2

2

，0)，
O（0，0，2），M（0，0，1），N(1-

2

4

，

2

4

，0)
（1）

MN

=(1-

2

4

，

2

4

，-1)，

OP

=(0，

2

2

，-2)，

OD

=(-

2

2

，

2

2

，-2)
設(shè)平面OCD的法向量為n=（x，y，z），則

n

•

OP

=0，

n

•

OD

=0
即

2 2 y-2z=0 - 2 2 x+ 2 2 y-2z=0

取z=

2

，解得
∵

MN

•

n

=（1-

2

4

，

2

4

，-1）•（0，4，

2

）=0，
∴MN∥平面OCD．

（2）設(shè)AB與MD所成的角為θ，
∵

AB

=(1，0，0)，

MD

=(-

2

2

，

2

2

，-1)
∴cosθ=

| AB • MD |

| AB |•| MD |

=

1

2

，
∴θ=

π

3

，AB與MD所成角的大小為

π

3

．

（3）設(shè)點B到平面OCD的距離為d，則d為

OB

在向量

n

=（0，4，

2

）上的投影的絕對值，
由

OB

=(1，0，-2)，得d=

| OB n |

n

=

2

3

所以點B到平面OCD的距離為

2

3

．

點評：培養(yǎng)學(xué)生利用多種方法解決數(shù)學(xué)問題的能力，考查學(xué)生利用空間向量求直線間的夾角和距離的能力．