Question

10．已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B．
（Ⅰ）　若|AB|=$\frac{16}{3}$，求直線l的方程．
（Ⅱ）　求|AB|的最小值．并求出此時(shí)直線1的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)直線l的方程為：x+my-1=0，代入y²=4x，整理得，y²+4my-4=0，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義，能夠求出直線l的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，|AB|=4（m²+1）≥4，由此能求出|AB|的最小值，并求出此時(shí)直線1的方程．．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為：x+my-1=0，
代入y²=4x，整理得，y²+4my-4=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁，y₂是上述關(guān)于y的方程的兩個(gè)不同實(shí)根，所以y₁+y₂=-4m
根據(jù)拋物線的定義知：
|AB|=x₁+x₂+2=（1-my₁）+（1-my₂）=4（m²+1）
若|AB|=$\frac{16}{3}$，則4（m²+1）=$\frac{16}{3}$，∴m=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$
即直線l有兩條，其方程分別為：x$±\frac{\sqrt{3}}{3}$y-1=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，|AB|=4（m²+1）≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)，|AB|有最小值4．此時(shí)直線1的方程x-1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，考查弦的最小值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意拋物線簡(jiǎn)單性質(zhì)、韋達(dá)定理等知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用．