Question

20．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{x}{1-x}$圖象上任意兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)．已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$．若S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），n∈N^*，且n≥2．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）已知a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}，n=1}\\{\frac{1}{（{S}_{n}+1）（{S}_{n+1}+1）}，n≥2}\\{\;}\end{array}\right.$，其中n∈N^*，T_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，若T_n＜λ（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立，試求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x₁+x₂=1，求得f（x₁）+f（x₂）=1，運(yùn)用倒序相加求和，計算即可得到所求和；
（Ⅱ）求得n=1時，λ＞$\frac{4}{9}$；當(dāng)n≥2時，求得a_n=$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$=4（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），運(yùn)用裂項相消求和，求得T_n=$\frac{2n}{n+2}$，再由T_n＜λ（S_n+1+1），運(yùn)用參數(shù)分離和基本不等式，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）M為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)M（x，y），
由$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=x=$\frac{1}{2}$，可得x₁+x₂=1，
f（x₁）+f（x₂）=1+log₂$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$+log₂$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$
=1+log₂$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$=1+log₂1=1，
又S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），
S_n=f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{n-2}{n}$）+…+f（$\frac{1}{n}$），
可得2S_n=[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）]+[f（$\frac{2}{n}$）+f（$\frac{n-2}{n}$）]+…[f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{1}{n}$）]
=1+1+…+1=n-1，
則S_n=$\frac{n-1}{2}$（n∈N^*，且n≥2）；
（Ⅱ）當(dāng)n=1時，T₁＜λ（S₂+1），即$\frac{2}{3}$＜（$\frac{1}{2}$+1）λ，
解得λ＞$\frac{4}{9}$；
當(dāng)n≥2時，a_n=$\frac{1}{（{S}_{n}+1）（{S}_{n+1}+1）}$=$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$=4（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{2}{3}$+4（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{2}{3}$+4（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{2n}{n+2}$，
由T_n＜λ（S_n+1+1），可得$\frac{2n}{n+2}$＜$\frac{n+2}{2}$λ，
即為λ＞$\frac{4n}{（n+2）^{2}}$=$\frac{4n}{{n}^{2}+4n+4}$=$\frac{4}{n+\frac{4}{n}+4}$，
由n+$\frac{4}{n}$≥2$\sqrt{n•\frac{4}{n}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時，取得等號．
則$\frac{4}{n+\frac{4}{n}+4}$≤$\frac{4}{4+4}$=$\frac{1}{2}$，
即有λ＞$\frac{1}{2}$．
則實數(shù)λ的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的求和方法：倒序相加求和及裂項相消求和，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)用基本不等式求得最值，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．