Question

關于函數(shù)f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R）有下列觀點：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數(shù)倍；
②由y=f（x）的表達式可改寫為y=4cos（2x-

π

6

）；
③y=f（x）的圖象關于點（-

π

6

，0）對稱；
④在同一坐標系中，函數(shù)y=4sin（2x+

π

3

）與y=8x+

4π

3

的圖象有且僅有一個公共點；
其中正確的觀點的序號是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的圖象

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：①函數(shù)的周期T=

2π

2

=π，函數(shù)值等于0的x之差的最小值為

T

2

，所以x₁-x₂必是

π

2

的整數(shù)倍．
②利用誘導公式進行判斷．
③由y=sinx的對稱中心（kπ，0）（k為整數(shù)），即可判斷．
④利用三角函數(shù)的圖象和性質判斷．

解答： 解：①因為函數(shù)的周期T=

2π

2

=π，函數(shù)值等于0的x之差的最小值為

T

2

，所以x₁-x₂必是

π

2

的整數(shù)倍．所以①錯誤．
②函數(shù)f（x）=4sin（2x+

π

3

）=cos（

π

2

-2x-

π

3

）=4cos（2x-

π

6

），所以②正確．
③由y=sinx的對稱中心（kπ，0）（k為整數(shù)）可知，函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（-

π

6

，0）對稱，故③對；
④x=0時，y=4sin（2x+

π

3

）=2

3

，y=8x+

4π

3

=

4π

3

＞2

3

，所以函數(shù)y=4sin（2x+

π

3

）與y=8x+

4π

3

的圖象有且僅有一個公共點，故④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．