Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=lnx-a²x²-ax，1≤x≤e，f′（2）=0，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：求出函數(shù)的導數(shù)，利用f′（2）=0，求出a，得到函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極小值與端點值比較大小請查收的最小值．

解答： 解：∵f'（x）=-

(2ax-1)(ax+1)

x

，
∴f'（2）=-

(4a-1)(2a+1)

2

=0，又∵a＞0，
∴4a-1=0，a=

1

4

，
∴f（x）=ln x-

1

16

x²-

1

4

x，
f'（x）=-

(x-2)(x+4)

8x

，1≤x≤e，4分
∴1≤x≤2時，f'（x）＞0；2≤x≤e時，f'（x）＜0，
f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，在區(qū)間（2，e]上是減函數(shù)，
∴f（x）_min={f（1），f（e）}_min.8分
∵f（1）-f（e）=-

5

16

+

e2+4e-16

16

=

e2+4e-21

16

＜

32+4×3-21

16

=0，
∴f（x）_min=f（1）=-

5

16

.10分．

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的最小值的求法，考查分析問題解決問題的能力．