Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x+2，
（1）當(dāng)x∈R時(shí)，求f（x）的最大值與最小值；
（2）x∈[-5，5]．求f（x）的最大值與最小值；
（3）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使f（x）=x²-2ax+2在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

解：（1）畫(huà)出函數(shù)f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1 的圖象，由圖象可知，原函數(shù)沒(méi)有最大值，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值最小為1．

（2）當(dāng)x∈[-5，5]時(shí)．由圖象可知，原函數(shù)f（x）的最大值為f（-5）=37；最小值為當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值最小為1．
（3）當(dāng)區(qū)間[-5，5]位于對(duì)稱軸x=a的同側(cè)時(shí)，f（x）=x²-2ax+2在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，故有a≤-5或a≥5，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-5]∪[5，+∞）．
分析：（1）畫(huà)出函數(shù)f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1 的圖象，由圖象可知，f（x）的最大值與最小值．
（2）當(dāng)x∈[-5，5]時(shí)．由圖象可知，f（x）的最大值與最小值．
（3）當(dāng)區(qū)間[-5，5]位于對(duì)稱軸x=a的同側(cè)時(shí)，f（x）=x²-2ax+2在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，由此可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．