已知函數(shù)f（x）=
1
x2-4
（x＜-2）．
（1）求函數(shù)f（x）的反函數(shù)f-1（x）；
（2）若數(shù)列{an}的首項a1=1，
1
an+1
=-f-1（an）（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）設(shè)bn=
anan+1
an+an+1
，若b1+b2+…+bn=2，求n的值．
分析：（1）利用解方程的方法，可求反函數(shù)；
（2）確定{
1
an2
}是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，即可求得數(shù)列的通項；
（3）把（2）中求得an代入bn中，進而用疊加法求得數(shù)列的前n項的和．
解答：解：（1）令y=
1
x2-4
（x＜-2），則x=-
4y2+1
y

∴f-1（x）=-
y2+4
y
；
（2）
1
an+1
=-f-1（an）=
4an2+1
an
，∴
1
an+12
=
1
an2
+4
∵a1=1，∴
1
a12
=1
∴{
1
an2
}是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列
∴
1
an2
=1+4（n-1）=4n-3
∵an＞0，∴an=
1
4n-3
；
（3）bn=
anan+1
an+an+1
=
4n+1
-
4n-3
4

∴b1+b2+…+bn=
5
-1
4
+
9
-
5
4
+…+
4n+1
-
4n-3
4
=
4n+1
-1
4

令
4n+1
-1
4
=2，可得n=20．
點評：本題主要考查了數(shù)列等差關(guān)系的確定和通項公式．解題的基礎(chǔ)是對數(shù)列公式的熟練掌握．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
|x|
，g（x）=1+
x+|x|
2
，若f（x）＞g（x），則實數(shù)x的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，-1）∪（0，1）
B、(-∞，-1)∪(0，
-1+
5
2
)
C、(-1，0)∪(
-1+
5
2
，+∞)
D、(-1，0)∪(0，
-1+
5
2
)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∉Q
，則f[f（π）]=（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1-x
ax
+lnx(a＞0)
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a=1時，求f（x）在[
1
2
，2]上的最大值和最小值；
（3）當a=1時，求證對任意大于1的正整數(shù)n，lnn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+cos2x-2sin2（x-
π
6
），其中x∈R，則下列結(jié)論中正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+logax（a＞0，a≠1），滿足f（9）=3，則f-1（log92）的值是（　�。�

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