Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+ax+b在x=-1處的切線與x軸平行．
（Ⅰ）求a的值和函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）若方程恰有三個(gè)不同的解，求b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由已知得f′（x）=3x²-6x+a，
∵在x=-1處的切線與x軸平行
∴f′（-1）=0，解得a=-9．
這時(shí)f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
由f′（x）＞0，解得x＞3或x＜-1；
由f′（x）＜0，解-1＜x＜3．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1）∪（3，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（-1，3）．
（2）令g（x）=f（x）-（x²-15x+3）=x³-x²+6x+b-3
則原題意等價(jià)于g（x）圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)
∵g′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2）
∴由g′（x）＞0，解得x＞2或x＜1；
由g′（x）＜0，解得1＜x＜2．
∴g（x）在x=1時(shí)取得極大值g（1）=b-；g（x）在x=2時(shí)取得極小值g（2）=b-1．
依題意得，解得＜b＜1．
故b的取值范圍為（，1）
分析：（1）根據(jù)已知得f′（-1）=0，得到a，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的步驟求單調(diào)區(qū)間；
（2）把給定方程做適當(dāng)?shù)牡葍r(jià)變換，得到g（x）的圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn)；求出單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值，依題意極大值大于0，極小值小于0，進(jìn)而解出b的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)熟練掌握利用可導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的步驟．