已知函數(shù)f(x)=
x(1+lnx)x-1
,(x>1)

(1)設(shè)x0為函數(shù)f(x)的極值點,求證:f(x0)=x0;
(2)若當(dāng)x>1時,xlnx+(1-k)x+k>0恒成立,求正整數(shù)k的最大值.
分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)的運算法則即可得到f′(x),利用函數(shù)取得極值的條件,可得f′(x0)=0,即x0-2-lnx0=0,變形x0-1=1+lnx0,即可證明;
(2)由于xlnx+(1-k)x+k>0恒成立,分離參數(shù)得k<
x(1+lnx)
x-1
=f(x)
.故只需f(x)min>k,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的極小值即可.
解答:解:(1)∵f(x)=
x(1+lnx)
x-1
,(x>1)
,∴f′(x)=
x-2-lnx
(x-1)2
,
∵x0為函數(shù)f(x)的極值點,∴f'(x0)=0,
即x0-2-lnx0=0,于是x0-1=1+lnx0,
f(x0)=
x0(1+lnx0)
x0-1
=
x0(x0-1)
x0-1
=x0

(2)xlnx+(1-k)x+k>0恒成立,分離參數(shù)得k<
x(1+lnx)
x-1
=f(x)

則x>1時,f(x)>k恒成立,只需f(x)min>k,f′(x)=
x-2-lnx
(x-1)2
,
記g(x)=x-2-lnx,∴g′(x)=1-
1
x
>0
,
∴g(x)在(1,+∞)上遞增,又g(3)=1-ln3<0,g(4)=2-ln4>0,
∴g(x)在(1,+∞)上存在唯一的實根x0,且滿足x0∈(3,4),
∴當(dāng)1<x<x0時g(x)<0,即f'(x)<0;當(dāng)x>x0時g(x)>0,
即f'(x)>0,f(x)min=f(x0)=x0∈(3,4),
故正整數(shù)k的最大值為3.
點評:本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、分離參數(shù)法、函數(shù)的零點等基礎(chǔ)知識與基本方法,熟練掌握知識與方法是解題的關(guān)鍵,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請求出a的值,若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說法正確的是( )
A.f(x)是奇函數(shù),g(x)是奇函數(shù),則f(x)+g(x)是奇函數(shù)
B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案