Question

20．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{t}{x}$（x＞0）過(guò)點(diǎn)P（1，0）作曲線y=f（x）的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，設(shè)g（t）=|MN|，若對(duì)任意的正整數(shù)n，在區(qū)間[2，n+$\frac{64}{n}$]內(nèi)，若存在m+1個(gè)數(shù)a₁，a₂，…a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…g（a_m）＜g（a_m+1），則m的最大值為（　�。�

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 設(shè)出M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到切線的斜率，寫(xiě)出切線的方程，根據(jù)切線過(guò)一個(gè)點(diǎn)，得到一個(gè)方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫(xiě)出兩點(diǎn)之間的長(zhǎng)度，得到函數(shù)的表示式g（t），可得函數(shù)g（t）為一個(gè)增函數(shù)，寫(xiě)出不同的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的不等關(guān)系，根據(jù)對(duì)于任意的正整數(shù)都成立，結(jié)合基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性，得到m的取值范圍，得到最值．

解答 解：設(shè)M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，
∵f′（x）=1-$\frac{t}{{x}^{2}}$，
∴切線PM的方程為：y-（x₁+$\frac{t}{{x}_{1}}$）=（1-$\frac{t}{{{x}_{1}}^{2}}$）（x-x₁），
又∵切線PM過(guò)點(diǎn)P（1，0），∴有0-（x₁+$\frac{t}{{x}_{1}}$）=（1-$\frac{t}{{{x}_{1}}^{2}}$）（1-x₁），
即x₁²+2tx₁-t=0，（1）
同理，由切線PN也過(guò)點(diǎn)P（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的兩根，
∴x₁+x₂=-2t，x₁x₂=-t（*）|MN|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{x}_{1}+\frac{t}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{t}{{x}_{2}}）^{2}}$
=$\sqrt{[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}][1+（1-\frac{t}{{x}_{1}{x}_{2}}）^{2}]}$，
把（*）式代入，得|MN|=$\sqrt{20{t}^{2}+20t}$，
因此，函數(shù)g（t）的表達(dá)式為g（t）=$\sqrt{20{t}^{2}+20t}$，t＞0，
知g（t）在區(qū)間[2，n+$\frac{64}{n}$]為增函數(shù)，
∴g（2）≤g（a_i）≤g（n+$\frac{64}{n}$）（i=1，2，m+1），
則mg（2）≤g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）≤mg（n+$\frac{64}{n}$）．
依題意，不等式mg（2）＜g（n+$\frac{64}{n}$）對(duì)一切的正整數(shù)n恒成立，
m$\sqrt{20•{2}^{2}+20•2}$＜$\sqrt{20（n+\frac{64}{n}）^{2}+20（n+\frac{64}{n}）}$，
即m＜$\sqrt{\frac{1}{6}[（n+\frac{64}{n}）^{2}+（n+\frac{64}{n}）]}$對(duì)一切的正整數(shù)n恒成立．
∵n+$\frac{64}{n}$≥2$\sqrt{n•\frac{64}{n}}$=16，∴$\sqrt{\frac{1}{6}[（n+\frac{64}{n}）^{2}+（n+\frac{64}{n}）]}$≥$\sqrt{\frac{1}{6}（1{6}^{2}+16）}$=$\sqrt{\frac{136}{3}}$，
∴m＜$\sqrt{\frac{136}{3}}$．由于m為正整數(shù)，∴m≤6．
又當(dāng)m=6時(shí)，存在a₁=a₂═a_m=2，a_m+1=16，對(duì)所有的n滿(mǎn)足條件．
因此，m的最大值為6．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的綜合題目，主要應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)求最值來(lái)解題，本題解題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，本題是一個(gè)綜合題目，綜合性比較強(qiáng)，可以作為高考卷的壓軸題．