Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足對(duì)任意的n∈N^*，都有a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²且a_n＞0．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若b_n=$\frac{8{a}_{n+3}}{{{a}_{n+2}}^{2}{{a}_{n+4}}^{2}}$，記S_n=$\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}_{i}$，如果S_n＜$\frac{m}{9}$對(duì)任意的n∈N^*恒成立，求正整數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件知a₁=1．當(dāng)n=2時(shí)，有a₁³+a₂³=（a₁+a₂）²，由此可知a₂=2．
（2）由題意知，a_n+1³=（a₁+a₂++a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂++a_n）²，由于a_n＞0，所以a_n+1²=2（a₁+a₂++a_n）+a_n+1．同樣有a_n²=2（a₁+a₂++a_n-1）+a_n（n≥2），由此得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n．所以a_n+1-a_n=1．所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，由通項(xiàng)公式即可得到所求．
（3）求得b_n=$\frac{8{a}_{n+3}}{{{a}_{n+2}}^{2}{{a}_{n+4}}^{2}}$=$\frac{8（n+3）}{（n+2）^{2}（n+4）^{2}}$=2[$\frac{1}{（n+2）^{2}}$-$\frac{1}{（n+4）^{2}}$]，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，可得S_n，結(jié)合不等式的性質(zhì)，恒成立思想可得m≥$\frac{25}{8}$，進(jìn)而得到所求最小值．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，有a₁³=a₁²，
由于a_n＞0，所以a₁=1．
當(dāng)n=2時(shí)，有a₁³+a₂³=（a₁+a₂）²，
將a₁=1代入上式，可得a₂²-a₂-2=0，
由于a_n＞0，所以a₂=2．
（2）由于a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²，①
則有a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²．②
②-①，得a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂+…+a_n）²，
由于a_n＞0，所以a_n+1²=2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1．③
同樣有a_n²=2（a₁+a₂+…+a_n-1）+a_n（n≥2），④
③-④，得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n．
所以a_n+1-a_n=1．
由于a₂-a₁=1，即當(dāng)n≥1時(shí)都有a_n+1-a_n=1，
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
故a_n=n．
（3）b_n=$\frac{8{a}_{n+3}}{{{a}_{n+2}}^{2}{{a}_{n+4}}^{2}}$=$\frac{8（n+3）}{（n+2）^{2}（n+4）^{2}}$=2[$\frac{1}{（n+2）^{2}}$-$\frac{1}{（n+4）^{2}}$]，
則S_n=2[$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{25}$+$\frac{1}{16}$-$\frac{1}{36}$+$\frac{1}{25}$-$\frac{1}{49}$+$\frac{1}{36}$-$\frac{1}{64}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+3）^{2}}$+$\frac{1}{（n+2）^{2}}$-$\frac{1}{（n+4）^{2}}$]
=2[$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{16}$-$\frac{1}{（n+3）^{2}}$-$\frac{1}{（n+4）^{2}}$]＜2×$\frac{25}{144}$=$\frac{25}{72}$，
S_n＜$\frac{m}{9}$對(duì)任意的n∈N^*恒成立，可得$\frac{m}{9}$≥$\frac{25}{72}$，
即有m≥$\frac{25}{8}$，
可得正整數(shù)m的最小值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)、求和與不等式等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．