Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝sinx，g（x）＝lnx．

（1）求方程在[0，2π]上的解；

（2）求證：對任意的a∈R，方程f（x）＝ag（x）都有解；

（3）設(shè)M為實數(shù)，對區(qū)間[0，2π]內(nèi)的滿足x1＜x2＜x3＜x4的任意實數(shù)xi（1≤i≤4），不等式成立，求M的最小值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）詳見解析；（2）

【解析】

（1）利用誘導(dǎo)公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得的值，由此求得方程的解.

（2）將分成和兩種情況，結(jié)合零點存在性證得結(jié)論成立.

（3）先證得，再證得，由此求得的最小值為.

（1）因為，，所以，即，且.若，則，與矛盾.所以，從而.又，所以或.

（2）當(dāng)時，由得，即是該方程的一個解；

當(dāng)時，令.因為的圖像在區(qū)間上連續(xù)不斷，且，，根據(jù)零點存在性定理可知，存在，使得.因此，當(dāng)時，方程有解.

綜上所述，對任意，方程都有解.

（3）先證：.

取，.

再證：當(dāng)時，都有，即.

①若，因為，于是，所以，而，所以.

②若，，，所以；

③若，，，所以，

于是對任意滿足條件的，都有.

綜上所述，的最小值為.