已知點B(-1,0),C(1,0),P是平面上一動點,且滿足
(Ⅰ)求點P的軌跡C對應的方程;
(Ⅱ)已知點A(m,2)在曲線C上,過點A作曲線C的兩條弦AD和AE,且AD⊥AE,判斷:直線DE是否過定點?并證明你的結(jié)論.
【答案】分析:(I)設P(x,y)代入,整理可求
(II)將A(m,2)代入y2=4x可求m=1,從而可得點A的坐標為(1,2),設直線DE的方程為x=my+t代入y2=4x,整理得y2-4my-4t=0,設D(x1,y1),E(x2,y2)則y1+y2=4m,y1•y2=-4t,而=0,代入可求
解答:解:(I)設.(4分)
(II)將A(m,2)代入y2=4x得m=1,
∴點A的坐標為(1,2).(5分)
設直線DE的方程為x=my+t代入y2=4x,得y2-4my-4t=0,設D(x1,y1),E(x2,y2
則y1+y2=4m,y1•y2=-4t,△=(-4m)2+16t>0(*)(6分)
===
即t2-6t+9=4m2+8m+4即(t-3)2=4(m+1)2
∴t-3=±2(m+1)
∴t=2m+5或t=-2m+1,代入(*)式檢驗知只有t=2m+5滿足△>0(7分)
∴直線DE的方程為x=m(y+2)+5
∴直線DE過定點(5,-2)(8分)
點評:本題主要查了平面向量的數(shù)量積的基本運算,圓錐曲線的求解,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應用,解題的關(guān)鍵是要具備一定的推理運算能力.
練習冊系列答案
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在平面直角坐標系xOy中,設點P(x1,y1)、Q(x2,y2),定義:d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|. 已知點B(1,0),點M為直線x-2y+2=0上的動點,則使d(B,M)取最小值時點M的坐標是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點B(-1,0),C(1,0),P是平面上一動點,且滿足|
PC
|•|
BC
|=|
PB
|•|
CB
|

(Ⅰ)求動點P的軌跡方程;
(Ⅱ)直線l過點(-4,4
3
)且與動點P的軌跡交于不同兩點M、N,直線OM、ON(O是坐標原點)的傾斜角分別為α、β.求α+β的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點B(1,0)是向量
a
的終點,向量
b
,
c
均以原點O為起點,且
b
=(-3,-4),
c
=(1,1)與向量
a
的關(guān)系為
a
=3
b
-2
c
,求向量
a
的起點坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點B(-1,0),C(1,0),P是平面上一動點,且滿足|
PC
|•|
BC
|=
PB
CB

(1)求點P的軌跡C對應的方程;
(2)已知點A(m,2)在曲線C上,過點A作曲線C的兩條弦AD,AE,且AD,AE的斜率k1、k2滿足k1•k2=2.求證:直線DE過定點,并求出這個定點.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點B(-1,0),C(1,0),P是平面上一動點,且滿足|
PC
|•|
BC
|=
PB
CB

(Ⅰ)求點P的軌跡C對應的方程;
(Ⅱ)已知點A(m,2)在曲線C上,過點A作曲線C的兩條弦AD和AE,且AD⊥AE,判斷:直線DE是否過定點?并證明你的結(jié)論.

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