Question

如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面和側(cè)棱長都等于2，平面A₁ACC₁ AA₁C₁C⊥ABCD，∠A₁AC=60°．點O為底面對角線AC與BD的交點．
（1）證明：A₁O⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-A₁A-C的平面角的正切值．

Answer 1

解：（1）證明：由已知得 AB=BC=2，∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AC=2．
又O為AC的中點，故 OA=1，△A₁OA中，由余弦定理可得 A₁O²=3，∴A₁O²+AO²=A₁A²，
∴A₁O⊥AO．又因平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∴A₁O⊥平面ABCD．
（2）因底面ABCD為菱形，則 BD⊥AC，又 BD⊥A₁O，則BD⊥面C₁C．過點O 作OE⊥AA₁ ，
則AA₁⊥DE，∠DEO即為二面角D-A₁A-C的平面角．OD==，
Rt△AEO中，EO=AO•sin∠EAO=．
在Rt△DEO中，tan∠DEO==2，故二面角D-A₁A-C的平面角的正切值等于 2．
分析：（1）證明△ABC為等邊三角形，由余弦定理可得 A₁O²=3，由勾股定理可得A₁O⊥AO，再由面AA₁C₁C⊥平面ABCD，得到 A₁O⊥平面ABCD．
（2）過點O 作OE⊥AA₁，∠DEO即為二面角D-A₁A-C的平面角勾股定理求的OD，Rt△AEO中，利用邊角關(guān)系求得 EO，由tan∠DEO= 求得結(jié)果．
點評：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，求二面角的平面角的正切值，找出二面角的平面角是解題的難點．