Question

已知拋物線y²=-16x的焦點為F₁，準(zhǔn)線與x軸的交點為F₂，在直線l：x+y-8=0上找一點M，求以F₁，F(xiàn)₂為焦點，經(jīng)過點M且長軸最短的橢圓方程．

Answer 1

【答案】分析：由題設(shè)條件可知：F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），設(shè)F₂（4，0）關(guān)于直線l：x+y-8=0的對稱點為F₂′（x，y），根據(jù)對稱的有關(guān)知識可得F₂′（8，4）．連接F₁F₂′交直線L于一點，此點即為所求的點M．此時|MF₁|+|MF₂|取得最小值，并且求出最小值，進(jìn)而得到，即可求出橢圓的方程．
解答：解：由題設(shè)條件可知：F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）
設(shè)F₂（4，0）關(guān)于直線l：x+y-8=0的對稱點為F₂′（x，y），
則有，所以F₂′（8，4）．
連接F₁F₂′交直線L于一點，此點即為所求的點M．
此時|MF₁|+|MF₂|取得最小值，并且其最小值等于
設(shè)所求橢圓方程為：
所以橢圓長軸長的最小值為4，即，
又因為c=4，所以b²=a²-c²=40-16=24
所以所求橢圓方程為：
點評：本題主要考查利用對稱性解決最值問題，以及考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．