Question

（2013•樂山一模）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-mx．
（I）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（II）求函數(shù)f（x）的極值；
（III）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，e²-1]上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）確定函數(shù)f（x）的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用f'（x）＜0，可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（II）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)f（x）的極值；
（III）由（II）問可知，當(dāng)m≤0時(shí)，在區(qū)間[0，e²-1]不可能恰有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m＞0時(shí)，利用0為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合f（x）在[0，e²-1]恰有兩個(gè)零點(diǎn)，建立不等式，即可求m的取值范圍．

解答：（I）解：依題意，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=ln（1+x）-x，∴f′(x)=

1

1+x

-1…（2分）
由f'（x）＜0得

1

1+x

-1＜0，即

-x

1+x

＜0，解得x＞0或x＜-1，
又∵x＞-1，∴x＞0，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．                  …（4分）
（II）求導(dǎo)數(shù)可得f′(x)=

1

1+x

-m，（x＞-1）
（1）m≤0時(shí)，f'（x）≥0恒成立，∴f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，無極值．…（6分）
（2）m＞0時(shí)，由于

1

m

-1＞-1，所以f（x）在(-1， 

1

m

-1]上單調(diào)遞增，在[

1

m

-1， +∞)上單調(diào)遞減，
從而f(x)極大值=f(

1

m

-1)=m-lnm-1．      …（9分）
（III）由（II）問顯然可知，
當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）在區(qū)間[0，e²-1]上為增函數(shù)，∴在區(qū)間[0，e²-1]不可能恰有兩個(gè)零點(diǎn)．      …（10分）
當(dāng)m＞0時(shí)，由（II）問知f（x）_極大值=f(

1

m

-1)，
又f（0）=0，∴0為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)．         …（11分）
∴若f（x）在[0，e²-1]恰有兩個(gè)零點(diǎn)，只需

f(e2-1)≤0 0＜ 1 m -1＜e2-1

即

2-m(e2-1)≤0 1 e2 ＜m＜1

，
∴

2

e2-1

≤m＜1…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．