Question

12．圓C：ρ=-4sinθ上的動點P到直線l：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$的最短距離為2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 圓C：ρ=-4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標方程，可得圓心C，半徑r．直線l：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$展開即可化為直角坐標方程．求出圓心C到直線l的距離d，即可得出圓C上的動點P到直線l的最短距離=d-r．

解答 解：圓C：ρ=-4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，化為x²+y²=-4y，配方為x²+（y+2）²=4，可得圓心C（0，-2），半徑r=2．
到直線l：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$化為$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=$\sqrt{2}$，化為x+y-2=0．
∴圓心C到直線l的距離d=$\frac{|0-2-2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴圓C上的動點P到直線l的最短距離=d-r=2$\sqrt{2}$-2．
故答案為：2$\sqrt{2}$-2．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標方程的方法、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．