Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=5，S₉=99．
（1）求a_n及S_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=

4

an2-1

，n∈N^*，證明數(shù)列{b_n}的前n項和T_n滿足T_n＜1．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知利用等差數(shù)列通項公式和前n項和公式求出首項和公差，由此能求出

a1+d=5 9(2a1+8d) 2 =99

，由此能求出a_n及S_n．
（2）b_n=

4

an2-1

=

4

4n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項求和法能證明T_n＜1．

解答： （1）解：∵等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=5，S₉=99，
∴

a1+d=5 9(2a1+8d) 2 =99

，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=2n+1，
Sn=n2+2n，n∈N*．
（2）證明：b_n=

4

an2-1

=

4

4n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．
∴T_n＜1．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，考查數(shù)列的前n項和小于1的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運用．