Question

13．已知數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且b₁=a₁=1，b₂=a₃，b₃=a₉
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）由（I）可得：b_n=3^n-1．a(chǎn)_n•b_n=n•3^n-1．再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，且b₁=a₁=1，b₂=a₃，b₃=a₉，
∴q=1+2d，q²=1+8d，解得q=3，d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（II）由（I）可得：b_n=3^n-1．
∴a_n•b_n=n•3^n-1．
數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和S_n=1+2×3+3×3²+…+n•3^n-1．
∴3S_n=3+2×3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
∴-2S_n=1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ=$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-n•3ⁿ=$\frac{1-2n}{2}$•3ⁿ-$\frac{1}{2}$，
∴S_n=$\frac{2n-1}{4}•{3}^{n}$+$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．