Question

15．過拋物線C：x=ay²（a＞0）的焦點F作直線l交拋物線C于P，Q兩點，若|FP|=p，|FQ|=q，則$\frac{1}{p}$+$\frac{1}{q}$=（　�。�

• A． 2a
• B． $\frac{1}{2a}$
• C． 4a
• D． $\frac{4}{a}$

Answer 1

分析 設(shè)直線l參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosT}\\{y=\frac{1}{4a}+tsinT}\end{array}\right.$，（tanT為直線的斜率），代入拋物線方程，得$\frac{1}{4a}$+tsinT=a（tcosT）²，由此能求出$\frac{1}{p}$+$\frac{1}{q}$的值．

解答 解：∵拋物線C：x=ay²（a＞0），∴${y}^{2}=\frac{x}{a}$，
焦點F（0，$\frac{1}{4a}$），設(shè)直線l參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosT}\\{y=\frac{1}{4a}+tsinT}\end{array}\right.$，（tanT為直線的斜率），
代入拋物線方程，得$\frac{1}{4a}$+tsinT=a（tcosT）²，
∴（4a²cos²T）t²-（4asinT）t-1=0，
t₁+t₂=$\frac{sinT}{aco{s}^{2}T}$，t₁t₂=-$\frac{1}{4{a}^{2}co{s}^{2}T}$，
（t₁-t₂）²=（t₁+t₂）²-4t₁t₂=$\frac{si{n}^{2}T}{（aco{s}^{2}T）^{2}}$+$\frac{1}{（acosT）^{2}}$=$\frac{1}{（aco{s}^{2}T）^{2}}$，
|t₁-t₂|=$\frac{1}{aco{s}^{2}T}$=-t₁t₂×（4a），
∴|PQ|=|PF|+|FQ|=（|PF||FQ|）（4a），
∵|FP|=p，|FQ|=q，∴$\frac{1}{p}$+$\frac{1}{q}$=4a．
故選：C．

點評 本題考查代數(shù)式的值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意拋物線性質(zhì)的合理運用．