Question

6．已知直線y=k（x-m）與拋物線y²=2px（p＞0）交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA⊥OB，OD⊥AB于D，點(diǎn)D在曲線x²+y²-4x=0上，則p=2．

Answer 1

分析 設(shè)出D的坐標(biāo)，求出OD的斜率，利用OD⊥AB于D，動點(diǎn)D的坐標(biāo)滿足方程x²+y²-4x=0，確定x的值，代入k•k′=-1，化簡即可求出m的值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-（2k²m+2p）x+k²m²=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁•x₁=m²，
由OA⊥OB，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即x₁•x₁+y₁•y₁=0，即m²-2pm=0，解得：m=2p，
∵點(diǎn)D在直線AB：y=k（x-m）上，
∴設(shè)D坐標(biāo)為（x，k（x-m）），
則OD的斜率為k′=$\frac{k（x-m）}{x}$；
又∵OD⊥AB，AB的斜率為k，
∴k•k′=$\frac{{k}^{2}（x-m）}{x}$=-1，即k（x-m）=-$\frac{x}{k}$；
又∵動點(diǎn)D的坐標(biāo)滿足x²+y²-4x=0，即x²+[k（x-m）]²-4x=0，
將k（x-m）=-$\frac{x}{k}$代入上式，得x=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$；
再把x代入到$\frac{{k}^{2}（x-m）}{x}$=-1中，
化簡得4k²-mk²+4-m=0，即（4-m）•（k²+1）=0，
∵k²+1≠0，
∴4-m=0，
∴m=4．
∴p=2
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題，也考查了分析問題和解決問題的能力，是中檔題．