Question

2．曲線C：y=x³及其上一點(diǎn)P₁（1，1），過P₁作C的切線L₁，L₁與C的另一個公共點(diǎn)為P₂，過P₂作C的切線L₂，L₂與C的另一個公共點(diǎn)為P₃，…，依次下去得到C的一系列切線L₁，L₂，…，L_n，…，相應(yīng)切點(diǎn)分別為P₁（a₁，a₁³），P₂（a₂，a₂³），…，P_n（a_n，a_n³），…
（1）確定a_n與a_n+1（n∈N+）關(guān)系，并求a_n
（2）設(shè)S_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2|{a_n}|-1}}$（n∈N+），比較S_n與$\frac{n+1}{2}$大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的論斷．

Answer 1

分析 （1）由曲線C：y=x³，求導(dǎo)得y′=3x²，k=3a_n²，同時k=$\frac{{{a_{n+1}}^3-{a_n}^3}}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$=a_n+1²+a_n+1a_n+a_n²，聯(lián)立解出利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）S_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$．（n∈N+），可得：S_n≥$\frac{n+1}{2}$．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）由曲線C：y=x³，
求導(dǎo)得y′=3x²，k=3a_n²，
同時k=$\frac{{{a_{n+1}}^3-{a_n}^3}}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$=a_n+1²+a_n+1a_n+a_n²，
∴a_n+1²+a_n+1a_n-2a_n²=0，解得a_n+1=-2a_n，
從而{a_n}為等比數(shù)列，首項(xiàng)a₁=1，公比q=-2，
故a_n=（-2）^n-1．
（2）S_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2|{a_n}|-1}}$=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$．（n∈N⁺），
可得：S_n≥$\frac{n+1}{2}$．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)n=1時，S₁=1=$\frac{1+1}{2}$，成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k∈N^*時，S_k$≥\frac{k+1}{2}$，
則當(dāng)n=k+1時，S_k+1=S_k+$\frac{1}{{2}^{k}}+\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$≥$\frac{k+1}{2}$+$\frac{{2}^{k}+1}{{2}^{k+1}-1}$≥$\frac{k+1}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{（k+1）+1}{2}$．
∴當(dāng)n=k+1時，不等式成立．
綜上可得：?n∈N^*，S_n≥$\frac{n+1}{2}$成立．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)學(xué)歸納法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．