Question

15．如圖所示，已知在四棱錐P-ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，BC⊥PC，且AD=DC=PA=$\frac{1}{2}$AB=1
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）試在線段PB上找一點M，使CM∥平面PAD，并說明理由；
（3）若點M是由（2）中確定的，且PA⊥AB，求四面體MPAC的體積．

Answer 1

分析 （1）（1）連接AC，過C作CE⊥AB，垂足為E，則四邊形ADCE是正方形．△BCE為等腰直角三角形，得出BC⊥AC，已知BC⊥PC，故BC⊥平面PAC；
（2）當M為PB中點時，CM∥平面PAD，取AP中點F，連接CM，F(xiàn)M，DF，可易證四邊形CDFM為平行四邊形，推出CM∥DF，故CM∥平面PAD．
（3）因為M為PB中點，可得V_棱錐M-PAC=$\frac{1}{2}$V_棱錐B-PAC，利用勾股定理可解得BC，AC的長度，代入體積公式計算出體積．

解答 解：（1）連接AC，過C作CE⊥AB，垂足為E，
∵AD⊥AB，CD∥AB，AD=DC，
∴四邊形ADCE是正方形． 
∴∠ACD=∠ACE=45°．
又∵AE=CD=$\frac{1}{2}$AB，∴BE=AE=CE．
∴∠BCE=45°．∴∠ACB=90°．∴AC⊥BC．     
又∵BC⊥PC，AC∩PC=C，
∴BC⊥平面PAC．             
（2）當M為PB中點時，CM∥平面PAD．    
證明：取AP中點F，連接CM，F(xiàn)M，DF．
則FM∥AB，且FM=$\frac{1}{2}AB$，∵CD∥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴FM∥CD，F(xiàn)M=CD．
∴四邊形CDFM為平行四邊形，∴CM∥DF．
∵DF?平面PAD，CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD．
（3）由（1）知，BC⊥平面PAC，M為PB中點，
所以點M到平面PAC的距離等于$\frac{1}{2}$BC，V_棱錐M-PAC=$\frac{1}{2}$V_棱錐B-PAC．     
在三角形ABP中，∵PA⊥AB，∴PB=$\sqrt{5}$，∴PC=$\sqrt{3}$，∵AC=$\sqrt{2}$，PA=1，∴△PAC是直角三角形，
S_△PAC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴V_棱錐M-PAC=$\frac{1}{2}$V_棱錐B-PAC=$\frac{1}{6}$S_△PAC•BC=$\frac{1}{6}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了線面垂直，線面平行的判定和幾何體體積計算，屬于中檔題．