Question

15．已知tan2x+$\root{3}{2x}$+m=0，tan3y+$\root{3}{3y}$-m=0，其中|x|＜$\frac{π}{6}$，|y|＜$\frac{π}{6}$，log₂（2x+3y+8）的值是3．

Answer 1

分析 由題意得到tan2x+$\root{3}{2x}$=-（ tan3y+$\root{3}{3y}$），得到函數(shù)tant+$\root{3}{t}$（t∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$））是增函數(shù)、奇函數(shù)，繼而得到2x=-3y，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可．

解答 解：由已知兩式得tan2x+$\root{3}{2x}$=-（ tan3y+$\root{3}{3y}$），
而函數(shù)f（t）=tant+$\root{3}{t}$（t∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$））是增函數(shù)、奇函數(shù)，
∵|x|＜$\frac{π}{6}$，|y|＜$\frac{π}{6}$，
∴2x=-3y，
∴l(xiāng)og₂（2x+3y+8）=log₂8=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．