Question

3．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（2-x）=f（2+x），當(dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^x-1，記g（x）=f（x）-log_a（x+2）（其中a＞0，a≠1），試討論函數(shù)g（x）在區(qū)間（-2，6]上零點的個數(shù)．

Answer 1

分析 由f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（2+x）=f（2-x），推出函數(shù)f（x）是以4為最小正周期的函數(shù)，結(jié)合題意畫出在區(qū)間（-2，6]上函數(shù)f（x）和y=log_a（x+2）的圖象，注意對a討論，分a＞1，0＜a＜1，結(jié)合圖象即可得到結(jié)論．

解答 解：∵設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（2-x）=f（2+x），
∴且f（2-x）=f（2+x）=f（x-2），
即f（4+x）=f（x），
∴f（x）的周期為4，
若x∈[0，2]，則-x∈[-2，0]時，
即f（-x）=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^-x-1=f（x），
∴f（x）=（$\sqrt{2}$）^x-1，x∈[0，2]，
由g（x）=f（x）-log_a（x+2）=0得f（x）=log_a（x+2），
作出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，6]上圖象如圖：
若0＜a＜1，
∵f（-2）=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^-2-1=2-1=1，當(dāng)x→-2時，g（x）→+∞，
∴此時兩個函數(shù)有一個交點，即函數(shù)g（x）有一個零點，
若a＞1，∵f（2）=f（6）=1，
設(shè)h（x）=log_a（x+2），則h（2）=log_a4，h（6）=log_a8，
當(dāng)h（2）＞1，即log_a4＞1，得1＜a＜4時，兩個函數(shù)有一個交點，此時函數(shù)g（x）有一個零點，
當(dāng)h（2）=1，即log_a4=1，得a=4時，兩個函數(shù)有2個交點，此時函數(shù)g（x）有2個零點，
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{h（2）＜1}\\{h（6）＞1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}4＜1}\\{lo{g}_{a}8＞1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞4}\\{1＜a＜8}\end{array}\right.$即4＜a＜8時，兩個函數(shù)有3個交點，此時函數(shù)g（x）有3個零點，
當(dāng)h（6）≤1，即log_a8≤1，即a≥8時，兩個函數(shù)有4個交點，此時函數(shù)g（x）有4個零點．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，以及函數(shù)零點個數(shù)的判斷，利用函數(shù)的奇偶性和周期性，作出是f（x）的圖象，同時結(jié)合數(shù)形結(jié)合以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，轉(zhuǎn)化為不等式求解是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．