Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₃=5，S₁₅=225．?dāng)?shù)列{b_n}是等比數(shù)列，b₃=a₂+a₃，b₂b₅=128（其中n=1，2，3，…）．
（I）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；（II）記c_n=a_nb_n，求數(shù)列c_n前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）在數(shù)列{a_n}中，把已知條件用首項(xiàng)a₁，公差d表示，聯(lián)立方程可求a₁和d；在數(shù)列{b_n}中，用b₁和公比q把已知表示，求出b₁和公比q
（II）由（I）可知c_n=（2n-1）•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減求出數(shù)列的和

解答：解：（I）公差為d，
則

a1+2d=5 15a1+15×7d=225

，
∴

a1=1 d=2

故a_n=2n-1（n=1，2，3，…）．
設(shè)等比數(shù)列b_n的公比為q，則

b3=8 b3 q •b3q2=128

，∴b₃=8，q=2
∴b_n=b₃•q^n-3=2ⁿ（n=1，2，3，…）．
（II）∵c_n=（2n-1）•2ⁿ∵T_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ
2T_n=2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
作差：-T_n=2+2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+

23(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)•2n+1
=2+2³（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2ⁿ⁺²-8-2ⁿ⁺²n+2ⁿ⁺¹=-6-2ⁿ⁺¹（2n-3）
∴T_N=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6（n=1，2，3，…）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本知識(shí)，第二問，求前n項(xiàng)和的解法，要抓住它的結(jié)特征，一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列之積，乘以2后變成另外的一個(gè)式子，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．