Question

（07年全國卷Ⅰ）四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面底面ABCD，已知，，，。

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求直線SD與平面SBC所成角的大小。

Answer 1

解析：解法一：（1）作，垂足為，連結(jié)，

由側(cè)面底面，得底面．

因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090326/20090326151725008.gif' width=57>，所以，

又，故為等腰直角三角形，，

由三垂線定理，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

依題設(shè)，

故，由，

，

．

又，作，垂足為，

則平面，連結(jié)．為直線與平面所成的角．

所以，直線與平面所成的角為．

解法二：

（Ⅰ）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面．

因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090326/20090326151725008.gif' width=57>，所以．

又，為等腰直角三角形，．

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，建立直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?IMG height=45 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090326/20090326151728034.gif' width=164>，

，

又，所以，

，．

，，

，，所以．

（Ⅱ），.

與的夾角記為，與平面所成的角記為，因?yàn)?IMG height=23 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090326/20090326151730046.gif' width=25>為平面的法向量，所以與互余．

，，

所以，直線與平面所成的角為．