Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$．
（1）求f（x）在x=1處的切線方程；
（2）函數(shù)y=f（x）-b有三個零點，求b的取值范圍；
（3）求f（x）在[0，t]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線斜率，然后f（x）在x=1處的切線方程；
（2）求出函數(shù)的極值，要使函數(shù)y=f（x）-b有三個零點，即可求解b的取值范圍；
（3）通過函數(shù)的單調(diào)性，通過分類討論求f（x）在[0，t]上的最大值．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$．可得f′（x）=x²-4，f′（1）=-3，
f（1）=$\frac{1}{3}$，f（x）在x=1處的切線方程：y-$\frac{1}{3}$=-3（x-1），
即：9x+3y-10=0
（2）函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$．可得f′（x）=x²-4=0，可得：${f_{極大值}}（x）=\frac{28}{3}$，${f_{極小值}}（x）=-\frac{4}{3}$．
要函數(shù)y=f（x）-b有三個零點，即y=f（x）與y=b的圖象有三個交點，則b的取值范圍為：$-\frac{4}{3}＜b＜\frac{28}{3}$．
（3）1⁰t≤2，f（x）在[0，t]單調(diào)遞減，f_max（x）=f（0）=4
1⁰t＞2，f（x）在[0，2]單調(diào)遞減，在[2，t]單調(diào)遞增．f_max（x）等于f（0）或f（t）f（t）-f（0）=$\frac{1}{3}{x^3}-4x+4-4=\frac{1}{3}t（t+2\sqrt{3}）（t-2\sqrt{3}）$
當(dāng)$t≥2\sqrt{3}，f（t）≥f（0）$，f_max（x）=$\frac{1}{3}{t^3}-4t+4$
當(dāng)$2＜t＜2\sqrt{3}，f（t）＜f（0）$，f_max（x）=f（0）=4．
綜上所述：f_max（x）=$\left\{{\begin{array}{l}4\\{\frac{1}{3}{t^3}-4t+4}\end{array}}\right.$$\begin{array}{l}{0＜t＜2\sqrt{3}}\\{t≥2\sqrt{3}}\end{array}$

點評 b本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力．