Question

20．已知數(shù)列{a_n}中對(duì)于任意正整數(shù)n都有a_n+1=${a}_{n}^{2}$+ca_n，其中c為實(shí)常數(shù)．
（Ⅰ）若c=2，a₁=1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若c=0，記T_n=（a₁-a₂）a₃+（a₂-a₃）a₄+…+（a_n-a_n+1）a_n+2，證明：
1）當(dāng)0＜a₁≤$\frac{1}{2}$時(shí)，T_n＜$\frac{1}{32}$；
2）當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a₁＜1時(shí)，T_n＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過變形可知a_n+1+1=$（{a}_{n}+1）^{2}$，進(jìn)而兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，整理可知數(shù)列{log₂（a_n+1）}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）1）通過對(duì)a_n+1=${{a}_{n}}^{2}$兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，進(jìn)而可得a_n=${{a}_{1}}^{{2}^{n-1}}$，放縮、利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論；
2）利用數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減，結(jié)合立方差公式放縮可知（a_n-a_n+1）a_n+2＜$\frac{1}{3}$（${{a}_{n}}^{3}$-${{a}_{n+1}}^{2}$），進(jìn)而累加即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：依題意，a_n＞0，
由c=2，a₁=1可知，a_n+1=${{a}_{n}}^{2}$+2a_n，即a_n+1+1=$（{a}_{n}+1）^{2}$，
兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得：log₂（a_n+1+1）=2log₂（a_n+1），
又∵log₂（a₁+1）=log₂（1+1）=1，
∴數(shù)列{log₂（a_n+1）}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，
∴l(xiāng)og₂（a_n+1）=2^n-1，a_n=-1+${2}^{{2}^{n-1}}$；
（Ⅱ）證明：1）由c=0可知，a_n+1=${{a}_{n}}^{2}$，
兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得：log₂a_n+1=2log₂a_n，
∴數(shù)列{log₂a_n}是公比為2的等比數(shù)列，
∴l(xiāng)og₂a_n=2^n-1log₂a₁，a_n=${{a}_{1}}^{{2}^{n-1}}$，
∴（a_n-a_n+1）a_n+2=（${{a}_{1}}^{{2}^{n-1}}$-${{a}_{1}}^{{2}^{n}}$）${{a}_{1}}^{{2}^{n+1}}$=${{a}_{1}}^{5×{2}^{n-1}}$（1-${{a}_{1}}^{{2}^{n-1}}$），
又∵0＜a₁≤$\frac{1}{2}$，
∴0＜${{a}_{1}}^{{2}^{n-1}}$≤$\frac{1}{2}$，
∴（a_n-a_n+1）a_n+2＜$\frac{1}{{2}^{5}}$•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n＜$\frac{1}{{2}^{5}}$•$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$＜$\frac{1}{{2}^{5}}$=$\frac{1}{32}$；
2）由c=0可知，a_n+1=${{a}_{n}}^{2}$，
又∵$\frac{1}{2}$＜a₁＜1，
∴數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減，
∵a_n+2=${{a}_{n+1}}^{2}$＜$\frac{1}{3}$（${{a}_{n+1}}^{2}$+a_na_n+1+${{a}_{n}}^{2}$），
∴（a_n-a_n+1）a_n+2＜$\frac{1}{3}$（${{a}_{n}}^{3}$-${{a}_{n+1}}^{2}$），
∴T_n=（a₁-a₂）a₃+（a₂-a₃）a₄+…+（a_n-a_n+1）a_n+2
＜$\frac{1}{3}$（${{a}_{1}}^{3}$+${{a}_{2}}^{3}$+…+${{a}_{n}}^{3}$-${{a}_{n+1}}^{2}$）
=$\frac{1}{3}$（${{a}_{1}}^{3}$-${{a}_{n+1}}^{2}$）
＜$\frac{1}{3}$${{a}_{1}}^{3}$＜$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于難題．