Question

已知冪函數(shù)f（x）=（n²-2n+1）x n2-2在（0，+∞）上是增函數(shù)，

a

=（sinθ，-2），

b

=（1，cosθ），g（x）=f（sinx+cosx）+2

3

cos²x．
（1）當(dāng)

a

⊥

b

時，求g（θ）的值；
（2）求g（x）的最大值以及使g（x）取最大值的x的集合．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）首先根據(jù)已知條件確定冪函數(shù)的解析式，進一步利用三角函數(shù)的恒等變換求出三角函數(shù)的解析式，進一步利用向量的垂直求出三角函數(shù)的正切值，進一步通過三角函數(shù)的恒等變形求出結(jié)果．
（2）利用第一步的結(jié)論，利用整體思想求出三角函數(shù)的最值和x的集合．

解答： 解：（1）冪函數(shù)f（x）=（n²-2n+1）x n2-2在（0，+∞）上是增函數(shù)．
所以：

n2-2n+1=1 n2-2＞0

解得：n=2
所以冪函數(shù)f（x）=x²
則：f（sinx+cosx）=sin²x+2sinxcosx+cos²x
=1+sin2x
所以：g（x）=1+sin2x+2

3

cos2x
=1+sin2x+

3

cos2x+

3

=2sin（2x+

π

3

）+

3

+1
由于

a

=（sinθ，-2），

b

=（1，cosθ），且

a

⊥

b

所以：sinθ=2cosθ
解得：tanθ=2
所以g（θ）=2sin(2θ+

π

3

)+

3

+1
=1+sin2θ+

3

cos2θ+

3

=1+

2sinθcosθ

sin2θ+cos2θ

+

3 (cos2θ-sin2θ)

sin2θ+cos2θ

+

3

=1+

2tanθ

1+tan2θ

+

3 (1-tan2θ)

1+tan2θ

+

3

=1+

4

5

+

3

-

3 3

5

=

9+2 3

5

（2）由（1）得到：g（x）=2sin(2x+

π

3

)+

3

+1
令：2x+

π

3

=2kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：x=kπ+

π

12

（k∈Z）
即當(dāng){x|x=kπ+

π

12

}（k∈Z），函數(shù)g(x)max=3+

3

．

點評：本題考查的知識要點：冪函數(shù)的應(yīng)用，向量的垂直問題，向量的數(shù)量積的運算，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，三角函數(shù)的求值問題，正弦型函數(shù)的最值問題，屬于基礎(chǔ)題型．