Question

已知曲線（t為參數(shù)），曲線（θ為參數(shù)）
（I） 將曲線C₁和曲線C₂化為普通方程，并判斷兩者之間的位置關(guān)系；
（II） 分別將曲線C₁和曲線C₂上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變，得到新曲線和，與的交點(diǎn)個數(shù)和C₁與C₂的交點(diǎn)個數(shù)是否相同？給出理由．

Answer 1

解：（I）∵曲線C₁：（t為參數(shù)），
∴y=2x+．
∵曲線C₂：（θ為參數(shù)），
∴x²+y²=1．
∵圓心（0，0）到直線y=2x+的距離d==圓半徑，
∴曲線C₁和曲線C₂相切．
（II）y=2x+上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變，
得到：y=x+．
x²+y²=1上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變，
得到：．
由（Ⅰ）知曲線C₁和曲線C₂相切，故曲線C₁和曲線C₂有一個交點(diǎn)．
把：y=x+代入：，
并整理，得，
∵=0，
∴與的交點(diǎn)個數(shù)也是一個．
即與的交點(diǎn)個數(shù)和C₁與C₂的交點(diǎn)個數(shù)相同．
分析：（I）由∵曲線C₁：（t為參數(shù)），知y=2x+．由曲線C₂：（θ為參數(shù)），知x²+y²=1．由此知曲線C₁和曲線C₂相切．
（II）y=2x+上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變，得到：y=x+．x²+y²=1上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變，得到：．由此能得到與的交點(diǎn)個數(shù)和C₁與C₂的交點(diǎn)個數(shù)相同．
點(diǎn)評：本題考查直線和圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，考查函數(shù)的伸縮變換，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查直線和圓、直線和橢圓的位置關(guān)系．