Question

已知以角B為鈍角的△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，

m

=(a，  2b)，

n

=(1，  -sinA)，且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大��；
（2）求sinA+cosC的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要求角B的大小，可先由題設(shè)條件建立與角B有關(guān)的方程，由題設(shè)條件，

m

=(a，  2b)，

n

=(1，  -sinA)，且

m

⊥

n

易得角B的方程，對此方程進行化簡整理即可得到角B的大小；
（2）由（1）可得，C=

π

6

-A，由此可將sinA+cosC表示為角A的函數(shù)，即sinA+cosC=

3?

sin(A+

π

6

)，再由A∈（0，

π

6

），解出sinA+cosC的取值范圍

解答：解：（1）

m

=（a，2b），

n

=（1，-sinA），且

m

⊥

n

，∴a-2bsinA=0----------2’
由正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB
可得：sinA-2sinB•sinA=0---3’
∵sinA≠0，化簡求得：sinB=

1

2

-------------------------------------------------5’
∵B為鈍角，∴A=

5π

6

----------------------------------------------------------------7’
（2）∵sinA+cosC=sinA+cos(

π

6

-A)=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA-----------8’
=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin(A+

π

6

)-------------------------10’
A∈（0，

π

6

），∴A+

π

6

∈(

π

6

，

π

3

)，∴sin(A+

π

6

)∈(

1

2

，

3

2

)---------------12’
∴sinA+cosC
的取值范圍為(

3

2

，

3

2

)------------------------------------------------14’

點評：本題考查了平面向量垂直的坐標(biāo)表示，兩角和與差的正、余弦函數(shù)公式，邊角之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些公式，能根據(jù)公式靈活進行變形，本題是向量與三角基本公式應(yīng)用題，屬于考查基礎(chǔ)知識與基本技能的題