【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且外接圓的周長(zhǎng)為.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點(diǎn)，設(shè)不垂直于軸的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，若，證明直線過(guò)定點(diǎn)并寫(xiě)出定點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析,恒過(guò)定點(diǎn)

【解析】

（1）先求出的外接圓的半徑長(zhǎng)，再利用拋物線的定義可求出的值，從而得出拋物線的方程；

（2）設(shè)的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，列出韋達(dá)定理，等價(jià)于即可得到、的關(guān)系，即可得到直線恒過(guò)定點(diǎn).

解：（1）因?yàn)?/span>的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，

所以的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于半徑，

因?yàn)橥饨訄A的周長(zhǎng)為，所以圓的半徑為3，

又圓心在的垂直平分線上，，

，解得：，

所以?huà)佄锞�的方程為.

（2）設(shè)的方程為，，，

由得，，則.

所以，，

因?yàn)?/span>，所以，

即，化簡(jiǎn)得，

所以，所以，

所以的方程為，恒過(guò)定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某地因受天氣，春季禁漁等因素影響，政府規(guī)定每年的7月1日以后的100天為當(dāng)年的捕魚(yú)期.某漁業(yè)捕撈隊(duì)對(duì)噸位為的20艘捕魚(yú)船一天的捕魚(yú)量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如下表所示：

捕魚(yú)量(單位：噸)

頻數(shù)

2

7

7

3

1

根據(jù)氣象局統(tǒng)計(jì)近20年此地每年100天的捕魚(yú)期內(nèi)的晴好天氣情況如下表（捕魚(yú)期內(nèi)的每個(gè)晴好天氣漁船方可捕魚(yú)，非晴好天氣不捕魚(yú)）：

晴好天氣(單位：天)

頻數(shù)

2

7

6

3

2

（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作代表）

（Ⅰ）估計(jì)漁業(yè)捕撈隊(duì)噸位為的漁船單次出海的捕魚(yú)量的平均數(shù)；

（Ⅱ）已知當(dāng)?shù)佤~(yú)價(jià)為2萬(wàn)元/噸，此種捕魚(yú)船在捕魚(yú)期內(nèi)捕魚(yú)時(shí)，每天成本為10萬(wàn)元/艘，若不捕魚(yú)，每天成本為2萬(wàn)元/艘，若以（Ⅰ）中確定的作為上述噸位的捕魚(yú)船在晴好天氣捕魚(yú)時(shí)一天的捕魚(yú)量.

①請(qǐng)依據(jù)往年天氣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，試估計(jì)一艘此種捕魚(yú)船年利潤(rùn)不少于1600萬(wàn)元的概率；

②設(shè)今后3年中，此種捕魚(yú)船每年捕魚(yú)情況一樣，記一艘此種捕魚(yú)船年利潤(rùn)不少于1600萬(wàn)元的年數(shù)為，求的分布列和期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】惠州市某學(xué)校需要從甲、乙兩名學(xué)生中選1人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，抽取了近期兩人5次數(shù)學(xué)考試的分?jǐn)?shù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

甲

80

85

71

92

87

乙

90

76

75

92

82

（1）若從甲、乙兩人中選出1人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，你認(rèn)為選誰(shuí)合適？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）若數(shù)學(xué)競(jìng)賽分初賽和復(fù)賽，在初賽中答題方案如下：

每人從5道備選題中隨機(jī)抽取3道作答，若至少答對(duì)其中2道，則可參加復(fù)賽，否則被淘汰.假設(shè)被選中參賽的學(xué)生只會(huì)5道備選題中的3道，求該學(xué)生能進(jìn)人復(fù)賽的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱的側(cè)面是平行四邊形，，平面平面，且分別是的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】以下四個(gè)命題中正確的是（ ）

A.空間的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)向量表示

B.若為空間向量的一組基底，則構(gòu)成空間向量的另一組基底

C.為直角三角形的充要條件是

D.任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，，，，M是棱PC上一點(diǎn)，且，平面MBD．

（1）求實(shí)數(shù)λ的值；

（2）若平面平面ABCD，為等邊三角形，且三棱錐P-MBD的體積為2，求PA的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】以下5條表述中，橫線上填A代表“充分非必要條件”，填B代表“必要非充分條件”，填C代表“充要條件”，填D代表“既非充分也非必要條件”，請(qǐng)將相應(yīng)的字母填入下列橫線上.

（1）若，則“是與的等比中項(xiàng)”是“”的_______.

（2）“數(shù)列為常數(shù)列”是“數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”的_______.

（3）若是等比數(shù)列，則“”是“為遞減數(shù)列”的_______.

（4）若是公比為的等比數(shù)列，則“”是“是遞減數(shù)列”的_______.

（5）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“數(shù)列為遞增數(shù)列”是“數(shù)列的各項(xiàng)均為大于零”的_______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“科技引領(lǐng)，布局未來(lái)”科技研發(fā)是企業(yè)發(fā)展的驅(qū)動(dòng)力量.2007年至2018年，某企業(yè)連續(xù)12年累計(jì)研發(fā)投入達(dá)4100億元，我們將研發(fā)投入與經(jīng)營(yíng)收入的比值記為研發(fā)投入占營(yíng)收比．這12年間的研發(fā)投入（單位：十億元）用圖中的條形圖表示，研發(fā)投入占營(yíng)收比用圖中的折線圖表示．

根據(jù)折線圖和條形圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）

A. 2012﹣2013 年研發(fā)投入占營(yíng)收比增量相比 2017﹣2018 年增量大

B. 該企業(yè)連續(xù) 12 年研發(fā)投入逐年增加

C. 2015﹣2016 年研發(fā)投入增值最大

D. 該企業(yè)連續(xù) 12 年研發(fā)投入占營(yíng)收比逐年增加

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(1)求證：；

(2)用表示中的最大值，記，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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