Question

已知雙曲線與橢圓

x2

9

+

y2

25

=1有公共焦點F₁，F(xiàn)₂，它們的離心率之和為2

4

5

．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P是雙曲線與橢圓的一個交點，求cos∠F₁PF₂．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由于橢圓焦點為F（0，±4），離心率為e=

4

5

，可得雙曲線的離心率為2，結(jié)合雙曲線與橢圓

x2

9

+

y2

25

=1有公共焦點F₁，F(xiàn)₂，求出a，b，c．最后寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求出|PF₁|=7，|PF₂|=3，|F₁F₂|=8，利用余弦定理，即可求cos∠F₁PF₂．

解答： 解：（1）橢圓

x2

9

+

y2

25

=1的焦點為（0，±4），離心率為e=

4

5

．
∵雙曲線與橢圓的離心率之和為2

4

5

，
∴雙曲線的離心率為2，
∴

c

a

=2
∵雙曲線與橢圓

x2

9

+

y2

25

=1有公共焦點F₁，F(xiàn)₂，
∴c=4，
∴a=2，b=

12

，
∴雙曲線的方程是

y2

4

-

x2

12

=1；
（2）由題意，|PF₁|+|PF₂|=10，|PF₁|-|PF₂|=4
∴|PF₁|=7，|PF₂|=3，
∵|F₁F₂|=8，
∴cos∠F₁PF₂=

72+32-82

2•7•3

=-

1

7

．

點評：本題考查橢圓雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查余弦定理，難度中等．