Question

15．已知函數(shù)f（x）=b•a^x（其中a、b為常數(shù)，a＞0，a≠1）的圖象過點(diǎn)，A（1，$\frac{1}{6}$），B（3，$\frac{1}{24}$）．
（1）求f（x）
（2）若不等式（$\frac{1}{a}$）^x+（$\frac{1}$）^x-m≥0在x∈[1，+∞）時(shí)恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可．
（2）利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=b•a^x（其中a、b為常數(shù)，a＞0，a≠1）的圖象過點(diǎn)，A（1，$\frac{1}{6}$），B（3，$\frac{1}{24}$）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{ab=\frac{1}{6}}\\{b•{a}^{3}=\frac{1}{24}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
則f（x）=$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{2}$）^x．
（2）若不等式（$\frac{1}{a}$）^x+（$\frac{1}$）^x-m≥0在x∈[1，+∞）時(shí)恒成立，
則（$\frac{1}{a}$）^x+（$\frac{1}$）^x-m=2^x+3^x-m，
∴m≤2^x+3^x，
∵y=2^x+3^x在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴最小值為5，∴m≤5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．