Question

7．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，直線y=2x-4截拋物線弦長|AB|=$3\sqrt{5}$，求拋物線標準方程及它的準線方程．

Answer 1

分析 設拋物線方程為y²=2px（p≠0），將直線方程y=2x-4代入，并整理，利用韋達定理，結(jié)合弦長公式，即可求拋物線的方程及它的準線方程．

解答 解：設所求的拋物線方程為 y²=ax （a≠0），A（（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由y²=ax與y=2x-4，消去y得4x²-（ a+16）x+16=0        …（2分）
由△=（a+16）²-256＞0得a＞0，或a＜-32
∵x₁+x₂=$\frac{a+16}{4}$x₁ x₂=4                 …（4分）
∴|AB|=$\sqrt{（1+{2^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}•{x_2}]}$=$\sqrt{5[{{（\frac{a+16}{4}）}^2}-16]}$
∴$\sqrt{5[{{（\frac{a+16}{4}）}^2}-16]}$=45
∴a=4或a=-36        …（8分）
∴所求拋物線方程為y²=4x或y²=-36x       …（10分）
準線方程分別為x=-1，x=9           …（12分）

點評 本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查拋物線的弦長計算，屬于中檔題．