Question

已知定點(diǎn)，過點(diǎn)F且與直線相切的動圓圓心為點(diǎn)M，記點(diǎn)M的軌跡為曲線E.

（1）求曲線E的方程；

（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，與曲線E相交于B，C兩點(diǎn)，直線AB，AC分別交直線于點(diǎn)S，T.試判斷以線段ST為直徑的圓是否恒過兩個定點(diǎn)？若是，求這兩個定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由.

 

Answer 1

（1）.（2）以線段為直徑的圓恒過兩個定點(diǎn).

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn), 為準(zhǔn)線的拋物線.

可得曲線的方程為.

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，依題意得，.

由消去得，

應(yīng)用韋達(dá)定理.

直線的斜率，

故直線的方程為.

令，得，

得到點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)的坐標(biāo)為.

得到.

設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

而

.

故以線段為直徑的圓的方程為.

令，得，解得或.

確定得到以線段為直徑的圓恒過兩個定點(diǎn).

（1）由題意, 點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離,

故點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn), 為準(zhǔn)線的拋物線.

∴曲線的方程為. 4分

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，依題意得，.

由消去得，

∴. 6分

直線的斜率，

故直線的方程為.

令，得，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.

∴

.

∴. 8分

設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

則

.

∴以線段為直徑的圓的方程為.

展開得. 11分

令，得，解得或.

∴以線段為直徑的圓恒過兩個定點(diǎn). 13分

考點(diǎn)：拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，直線方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，圓的方程.