Question

函數(shù)f(x)=

2x3+3x2+1(x≤0) aex(x＞0)

在[-2，2]上的最大值為2，則a的范圍是（　�。�

• A．[

  2

  e2

  ，+∞)
• B．[0，

  2

  e2

  ]
• C．（-∞，0]
• D．(-∞，

  2

  e2

  ]

Answer 1

分析：由題意，可分段研究函數(shù)的最值，先確定出函數(shù)的單調(diào)性，確定出每一段上函數(shù)的最大值，令最大值小于等于2，即可解出a的取值范圍得出正確選項

解答：解：由題意，當x≤0時，f（x）=2x³+3x²+1，可得f′（x）=6x²+6x，解得函數(shù)在[-1，0]上導(dǎo)數(shù)為負，在[-∞，-1]上導(dǎo)數(shù)為正，故函數(shù)在[-2，0]上的最大值為f（-1）=2
當x＞0時，f（x）=ae^x，若a＜0，則函數(shù)在（0，2]上為負，符合題意，若a=0，顯然符合題意，當a＞0時，函數(shù)是一個增函數(shù)，必有ae²≤2，故有a≤

2

e2

綜上得a的范圍是(-∞，

2

e2

]
故選D

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，解不等式，本題是一個分段函數(shù)，此類函數(shù)的最值要分段研究，此是解本題的重點，解題的關(guān)鍵是對a的符號分類討論，確定出函數(shù)的最值，本題考查了分類討論的思想及轉(zhuǎn)化的思想