Question

已知奇函數(shù)f（x）=

x+b

x2+a

的定義域為R，f（1）=

1

2

．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上為增函數(shù)；
（3）若g（x）=3^-x-f（x），證明函數(shù)g（x）在（-∞，+∞）上有零點．

Answer 1

分析：（1））因為函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，可得b的值，再利用f（1）=

1

2

，進而可求出a的值．
（2）由（1）可知：f（x）=

x

x2+1

．利用增函數(shù)的定義即可證明函數(shù)f（x）是增函數(shù)．
（3）由（1）可知g（x）=3-x-

x

x2+1

，由g（-1）g（1）＜0，可判斷出函數(shù)g（x）在（-1，1）上有一個零點，進而g（x）在（-∞，+∞）上有零點．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，得

b

a

=0，∴b=0；
又f（1）=

1

2

，∴

1

1+a

=

1

2

，∴a=1．
由上可知：a=1，b=0．
（2）由（1）可知：f（x）=

x

x2+1

．
設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，則x₂-x₁＞0，
于是△y=f（x₂）-f（x₁）=

x2

x22+1

-

x1

x 2 1 +1

=

(x2-x1)(1-x1x2)

( x 2 2 +1)( x 2 1 +1)

．
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁x₂＜1，∴1-x₁x₂＞0．
又x₂-x₁＞0，

x

2 1

+1＞0，

x

2 2

+1＞0，
∴△y＞0，
∴函數(shù)f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)．
（3）∵g(x)=3-x-

x

x2+1

，∴g(-1)g(1)=(3+

1

2

)×(

1

3

-

1

2

)＜0，
∴g（x）在（-1，1）上有零點，
故函數(shù)g（x）在（-∞，+∞）上有零點．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及函數(shù)的零點，充分理解以上有關(guān)知識及方法是解決問題的關(guān)鍵．