Question

已知點A（0，-2），B（0，4），動點P滿足

PA

•

PB

=y²-8．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）已知直線y=x+

1

4

與（1）所求曲線交于A、B兩點，求弦長AB及△OAB的面積．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）把向量數(shù)量積轉化為坐標表示即可得出動點P的軌跡方程；
（2）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，化為關于x的一元二次方程，然后利用弦長公式求得弦長，求出O到直線AB的距離，再代入三角形的面積公式得答案．

解答： 解：（1）A（0，-2），B（0，4），
∵動點P（x，y）滿足

PA

•

PB

=y²-8，
∴（-x，-2-y）•（-x，4-y）=y²-8，
∴x²+y²-2y-8=y²-8，化為x²=2y．
∴動點P的軌跡方程為x²=2y；
（2）聯(lián)立

y=x+ 1 4 x2=2y

，得2x²-4x-1=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=2，x1x2=-

1

2

，
∴|AB|=

1+1

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

4-4×(- 1 2 )

=2

3

．
原點O到直線4x-4y+1=0的距離為

|1|

42+(-4)2

=

1

4 2

=

2

8

．
∴S△OAB=

1

2

×2

3

×

2

8

=

6

8

．

點評：本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，考查了弦長公式的應用，關鍵是利用一元二次方程的根與系數(shù)關系解題，是中檔題．