Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AB=2，BB₁=

3

（Ⅰ）求直線B₁M與平面AB₁C₁所成角的正弦；
（Ⅱ）求異面直線B₁M與AC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面所成的角

專題：

分析：（1）設(shè)N為B₁C₁中點(diǎn)，連接MN，AM，以點(diǎn)M為原點(diǎn)，分別以MA，MC，MN為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系M-xyz，利用向量法能求出直線B₁M與平面AB₁C₁所成角的正弦的值．
（2）由（1）知

AC

=（

3

，1，0），

AM

=（

3

，0，0），設(shè)直線B₁M與AC的公垂線方向向量為

u

=（x，y，z），由此能求出異面直線B₁M與AC的距離．

解答： 解：（1）設(shè)N為B₁C₁中點(diǎn)，連接MN，AM，
因?yàn)镸為BC中點(diǎn)．所以MN∥BB₁．
又因?yàn)锳BC-A₁B₁C₁為正三棱柱
所以MN⊥底面ABC，AM⊥BC，
所以MA，MC，MN互相垂直，
以點(diǎn)M為原點(diǎn)，分別以MA，MC，MN為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系M-xyz，
因?yàn)锳B=2，BB1=

3

，
則M（0，0，0），A（-

3

，0，0），C（0，1，0），B1(0，-1，

3

)，C1(0，1，

3

)，

B1M

=（0，1，-

3

），

AC1

=（

3

，1，

3

），

B1C1

=（0，2，0），
設(shè)平面AB₁C₁的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • AC1 = 3 x+y+ 3 z=0 n • B1C1 =2y=0

，取x=1，得

n

=（1，0，-1）．
所以cos＜

B1M

，

n

＞=

6

4

，
所以直線B₁M與平面AB₁C₁所成角的正弦的值為

6

4

．
（2）由（1）知

AC

=（

3

，1，0），

AM

=（

3

，0，0），
設(shè)直線B₁M與AC的公垂線方向向量為

u

=（x，y，z），
解得

u

=（-1，

3

，1），
所以異面直線B₁M與AC的距離：
d=

| AM • μ |

| μ |

=

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查異面直線的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．