Question

如圖，四棱錐P-ABCD，底面^BCZ）是邊長為2的菱形，其中∠ADC=60°，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=3，E是PD的中點
（I ）求證直線PB∥平面ACE
（II）求點P到平面ACE的距離；
（III）求二面角E-AC-D的大�。�

Answer 1

分析：以FC為x軸，F(xiàn)D為y軸，F(xiàn)P為z軸建立空間坐標系，如圖所示，在此坐標系下，給出各點的坐標
（I ）求證直線PB∥平面ACE，只須證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且線不在面內即可得出線面平行；
（II）求點P到平面ACE的距離，可求出此點與面內一點邊線的線段對應的向量的坐標，然后求這個向量在平面的法向量上的投影，投影的長度即所求的點面距離；
（III）求二面角E-AC-D的大小，可求出兩個平面的法向量，再求出兩個向量夾角的余弦的絕對值，利用反三角函數(shù)表示出來即可．

解答：解：取AD的中點F，邊PF，F(xiàn)C，由于側面PAD垂直于底面ABCD，且PA=PD=3，底面ABCD是邊長為2的菱形，其中角ADC=60°
所以PF⊥面ABCD，F(xiàn)C⊥AD
以FC為x軸，F(xiàn)D為y軸，F(xiàn)P為z軸建立空間坐標系，如圖所示，則P（0，0，2

2

），A（0，-1，0），D（0，1，0），C（

3

，0，0），E（0，

1

2

，

2

），由

AD

=

BC

得：B（

3

，-2，0），

AC

=（

3

，1，0），

AE

=（0，

3

2

，

2

）
設平面ACE的法向量為

n

=（x，y，z）則：

AC • n =0 AE • n =0

，即

3x +y=0 3 2 x+ 2z =0

得

n

=（-4，4

3

，-3

6

）
（I ）

PB

=（

3

，-2，-2

2

）故

PB

•

n

=-4

3

-8

3

+12

3

=0又PB不在面ACE內，所以直線PB∥平面ACE．
（II）

AP

=（0，1，2

2

），故點P到平面AEC的距離是d=|

AP • n

n

|=

8 3

118

=

4 354

59

（III）取平面ACD的法向量為

m

=（0，0，1），設向量

m

，

n

的夾角為θ，則cosθ=|

m • n

| n || m |

|=

3 6

118

=

3 177

59

二面角E-AC-D的大小arccos

3 177

59

點評：本題考查二面角的平面角及求法，解題的關鍵是建立恰當?shù)目臻g坐標系，給出相應點的坐標，求出面的法向量與線的方向向量，然后利用向量的知識判斷線面平行，求點到面的距離，及面與面所成的二面角，此是向量在立體幾何中的重要應用，本題中涉及了基本的三個重要題型，此題也是高考考查的重要形式