Question

17．已知函數(shù)$f（x）=|{x-a}|+\frac{1}{2a}（{a≠0}）$
（1）若不等式f（x）-f（x+m）≤1恒成立，求實數(shù)m的最大值；
（2）當(dāng)a＜$\frac{1}{2}$時，函數(shù)g（x）=f（x）+|2x-1|有零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若不等式f（x）-f（x+m）≤1恒成立，利用f（x）-f（x+m）=|x-a|-|x+m-a|≤|m|，求實數(shù)m的最大值；
（2）當(dāng)a＜$\frac{1}{2}$時，函數(shù)g（x）=f（x）+|2x-1|有零點，$g{（x）_{min}}=g（{\frac{1}{2}}）=\frac{1}{2}-a+\frac{1}{2a}=\frac{{-2{a^2}+a+1}}{2a}≤0$，可得$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜\frac{1}{2}\\-2{a^2}+a+1≤0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\-2{a^2}+a+1≥0\end{array}\right.$，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵$f（x）=|{x-a}|+\frac{1}{2a}$，∴$f（{x+m}）=|{x+m-a}|+\frac{1}{2a}$，
∴f（x）-f（x+m）=|x-a|-|x+m-a|≤|m|，
∴|m|≤1，∴-1≤m≤1，∴實數(shù)m的最大值為1；
（2）當(dāng)$a＜\frac{1}{2}$時，$g（x）=f（x）+|{2x-1}|=|{x-a}|+|{2x-1}|+\frac{1}{2a}$=$\left\{\begin{array}{l}-3x+a+\frac{1}{2a}+1，x＜a\\-x-a+\frac{1}{2a}+1，a≤x≤\frac{1}{2}\\ 3x-a+\frac{1}{2a}-1，x＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$
∴$g{（x）_{min}}=g（{\frac{1}{2}}）=\frac{1}{2}-a+\frac{1}{2a}=\frac{{-2{a^2}+a+1}}{2a}≤0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜\frac{1}{2}\\-2{a^2}+a+1≤0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\-2{a^2}+a+1≥0\end{array}\right.$，
∴$-\frac{1}{2}≤a＜0$，
∴實數(shù)a的取值范圍是$[{-\frac{1}{2}，0}）$．

點評 本題考查絕對值不等式的運用，考查分段函數(shù)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．