在圖一所示的平面圖形中,是邊長為 的等邊三角形,是分別以為底的全等的等腰三角形,現(xiàn)將該平面圖形分別沿折疊,使所在平面都與平面垂直,連接,得到圖二所示的幾何體,據(jù)此幾何體解決下面問題.

(1)求證:;
(2)當時,求三棱錐的體積
(3)在(2)的前提下,求二面角的余弦值.
(1)通過計算體積證明。
(2)二面角是鈍二面角,.

試題分析:(1)證明:如圖,

分別取AC、BC中點M、N,連接FM,EN,MN,是全等的等腰三角形,,,又所在平面都與平面垂直,平面ABC,平面ABC,,四邊形EFMN是平行四邊形,,又,,同理可得:,,故是邊長為的正三角形,.···
過M作MQ于Q,解得MQ=,即為M到平面ABD的距離,由(1)可知平面MNEF平面ABD,E到平面ABD的距離為,,
.···
分別以NA、NB、NE所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系
依題意得,,, ,,
,

設(shè)是平面ADF的一個法向量,
則有,即,
,得,
又易知是平面ABD的一個法向量,
設(shè)二面角的平面角為,
,
二面角是鈍二面角,.···(12分)
點評:中檔題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計算。在計算問題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計算”的步驟。利用向量則能簡化證明過程,對計算能力要求高。解答立體幾何問題,另一個重要思想是“轉(zhuǎn)化與化歸思想”,即注意將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題。
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)是直線,,是兩個不同的平面,下列命題正確的是(  ).
A.若,,則B.若,,則
C.若,,則D.若, ,則

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖是三棱柱的三視圖,正(主)視圖和俯視圖都是矩形,側(cè)(左)視圖為等邊三角形,的中點.
          
(1)求證:∥平面;
(2)設(shè)垂直于,且,求點到平面的距離.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知是兩個不同的平面,是不同的直線,下列命題不正確的是
A.若
B.若
C.若
D.若,則

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

下列命題中假命題是
A.若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行
B.垂直于同一條直線的兩條直線相互垂直
C.若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,那么這兩個平面相互垂直
D.若一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的相交直線分別平行,那么這兩個平面相互平行

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示,其中分別是,的中點.
(1)求證:平面;
(2)在線段上(含端點)確定一點,使得∥平面,并給出證明.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD,線段CD為圓O的弦,AE垂直于圓O所在平面,垂足E是圓O上異于C、D的點,AE=3,正方形ABCD的邊長為

(1)求證:平面ABCD丄平面ADE;
(2)求四面體BADE的體積;
(3)試判斷直線OB是否與平面CDE垂直,并請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,四面體ABCD中,AB⊥BD、AC⊥CD且AD =3.BD=CD=2.

(1)求證:AD⊥BC;
(2)求二面角B—AC—D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,,且,中點.

(Ⅰ)求證:平面;    
(Ⅱ)求二面角的大;
(Ⅲ)在線段上是否存在點,使得點到平
的距離為?若存在,確定點的位置;
若不存在,請說明理由.

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